¿Existe alguna relación entre la matemática y las enfermedades infecciosas?

Por Lic. Nélida H. Pérez
Docente de Introducción al Mundo de la Matemática de la Tecnicatura en Comunicación de las Ciencias

 

El estudio de enfermedades infecciosas ha tenido desde hace mucho tiempo interés. La aparición de epidemias no solo son eventos de naturaleza biológica, sino que son además fenómenos sociales. Desde hace más de 25 años se usa la expresión “epidemiología matemática” lo que muestra una relación de la matemática con la biología; en general parte de enfoques multidisciplinarios donde físicos, biólogos, matemáticos, químicos, etc. atacan problemas biológicos. Esto ha requerido del uso de modelos matemáticos como una herramienta conceptual, que permite describir, explicar y hasta predecir en algunos casos el comportamiento de ciertos fenómenos de naturaleza biológica.

El uso de métodos cuantitativos basados en modelos matemáticos para estudiar la dinámica de transmisión y control de las enfermedades infecciosas, ha cobrado importancia entre los científicos y profesionales de la salud, porque permite idear programas efectivos de control e interpretar patrones epidemiológicos.


¿Qué es un modelo Matemático?

Modelo Matemático: Es la representación de un hecho o fenómeno por medio de funciones, ecuaciones, sistema de ecuaciones, ecuaciones diferenciales, diagramas, gráficos…., etc; en definitiva, por cualquier expresión u objeto matemático que convenga al caso. La finalidad de construir un modelo, es comprender o explicar el fenómeno, interpolar o extrapolar resultados y poder hacer predicciones a futuro, entre otras cosas. En general los modelos son descripciones simplificadas de la realidad.

La construcción de modelos matemáticos es una de las herramientas empleadas para el estudio de problemas en medicina, biología, fisiología, bioquímica, epidemiología, entre tantas otras áreas del conocimiento; sus objetivos primordiales son describir, explicar y predecir fenómenos y procesos en dichas áreas.

Podemos decir  que los modelos matemáticos son explicaciones simples consistentes con la realidad y de amplio uso en las ciencias, y tienen la característica  de ser diseñados para capturar y descubrir sistematicamente fenómenos y constituir una herramienta experimental y metodológica.

Para construir un modelo matemático se puede hacer:

  • Por medio de la búsqueda y planteo de alguna regla o leyes conocidas(física, biológica, etc…) y la posterior manipulación hasta obtener que relación buscada pueda describirse y formularse en lenguaje matemático; ó,
  • Por medio de un proceso usualmente conocido como modelo empírico, en este caso para obtener la representación matemática del fenómeno o proceso del caso, se acude a la observación o experimentación del mismo. O sea, es un modelo matemático basado en la obtención y registro metódico de datos; posteriormente se busca un patrón de comportamiento para la nube de puntos obtenida de la experimentación.

 

¿Qué es la epidemiología?

Según la OMS, “la epidemiología es el estudio de la distribución y los determinantes de estados o eventos (en particular de enfermedades) relacionados con la salud y la aplicación de esos estudios al control de enfermedades y otros problemas de salud”. Constituye una parte importante de la medicina preventiva e integra los métodos y principios de ciencias como medicina, matemáticas, estadística, demografía, sociología y salud ambiental, para estudiar la salud y controlar las enfermedades en grupos humanos bien definidos.

 

¿Porqué es relevante la construcción de modelos matemáticos para enfermedades infecciosas?

  • Se revelan muchas veces relaciones que no son obvias a primera vista.Se pueden extraer del modelo propiedades y características de las relaciones entre los elementos que de otra forma permanecerían ocultas.
  • Es factible  experimentar, ya que para estudiar los problemas  que ocasionan las enfermedades infecciosas del mundo real, realizar experimentos, puede ser muy costoso, peligroso o imposible.
  • La función principal de un modelo para una enfermedad infecciosa consiste en contar con un medio que posibilita entender la dispersión de la enfermedad a través de una población bajo diferentes escenarios y usar el modelo para predecir las consecuencias introducciendo cambios específicos.

 

Un poco de Historia de la relación de la Matemática con las epidemias.

El estudio de las epidemias tiene una larga historia. Desde la antiguedad, el hombre ha buscado explicaciones y teorías para tratar de entender las causas de la difusión de una enfermedad. La peste negra o peste bubónica, fue una de las pandemias más devastadoras en la historia de la humanidad. Afectó a Europa en el siglo XIV y alcanzó su punto máximo entre 1347 y 1353, matando a más de un tercio de la población europea, no se conoce de esa época una descripción matemática de la epidemia, más bien se lo atribuyó a un flagelo divino.

Hay que remontarse hasta el siglo XVIII, D´Alembert,  fue el primero en describir la propagación de enfermedades infecciosas mediante un modelo matemático. 

Pero, el primer artículo conocido que incluye un modelo explícito para una enfermedad infecciosa apareció en 1760. Fue publicado por Daniel Bernoulli (1700-1782), de nacionalidad suiza, quien tenía conocimientos médicos y matemáticos. D. Bernoulli propuso varios modelos matemáticos mediante ecuaciones diferenciales para modelar algunas enfermedades infecciosas (entre ellas la viruela). Sus resultados son válidos aún y el principio de utilizar una técnica matemática de investigación para evaluar medidas alternativas de salud pública es tan aplicable hoy, como hace 200 años.

Gracias a los trabajos de L. Pasteur (1822-1895), R. Koch (1843-1910) y otros, se conocieron los mecanismos de transmisión de una enfermedad, lo que permitió desarrollar teorías matemáticas adecuadas para explicar los procesos de propagación. La primera contribución importante, a inicios del siglo XX, fue debida a W. Hamer (1906), su estudio fue bastante relevante debido a que fue el primero en considerar que la incidencia de una enfermedad está relacionada con las densidades de población susceptible y población infecciosa.

El epidemiologo Ronald Ross, explicó el ciclo completo de la malaria humana, con la inclusión del mosquito como vector y el parásito Plasmodium; esto le valió la obtención del premio Nobel en 1902. Además der un famoso epidemiologo, R. Ross fue un competente matemático aficionado y estaba convencido de la necesidad de usar las matemáticas para apoyar las investigaciones epidemiológicas; en 1911, desarrolló un modelo de ecuaciones diferenciales para la malaria, siguiendo con su interés en la incidencia y el control de esta enfermedad.

El siguiente gran avance fue el trabajo matemático de Kermack y McKendrick, realizado durante el periodo de 1927 a 1939.

El resultado excepcional fue el célebre teorema umbral, según el cual la introducción de individuos infecciosos dentro de una población de susceptibles podía originar una epidemia sólo si la densidad de susceptibles rebasa un cierto valor crítico o umbral. Si el umbral se excede, entonces sobreviene el brote y, de lo contrario, desaparece. La comunidad científica, en general, no se percató de las implicaciones del modelo de Kermack-McKendrick hasta finales de los años setenta, cuando Anderson y May lo aplicaron para estudiar estrategias de control de enfermedades infecciosas.

Después de la Segunda Guerra Mundial resultó necesario mejorar el entendimiento de los procesos probabilísticos y se efectuaron nuevos avances en epidemiología a partir de procesos estocásticos.

En 1990, empezó un mayor interés por entender la dinámica de las enfermedades como el VIH/SIDA. A finales de la década de 1990, los físicos comenzaron a interesarse por el estudio de las redes complejas al advertir que era vital una perspectiva reticular para entender la dinámica de las enfermedades como el VIH/SIDA. La identificación de las redes es de gran utilidad para comprender la rápida difusión de enfermedades infecciosas, como fue el caso del síndrome respiratorio agudo grave (SRAG) en 2003, que apareció en Hong Kong, se extendió a Norteamérica y Europa.

 

Modelos Matemáticos Epidemiológicos

Los modelos matemáticos dedicados a la descripción de los fenómeneos epidémicos se dividen en dos grandes tipos: deterministas y estocásticos. Dentro de los deterministas, se hace otra división: continuos y discretos. Los continuos son modelos descriptos por sistemas de ecuaciones diferenciales, tanto parciales como ordinarias, se caracterizan por supuestos sobre los grupos poblacionales (suceptibles, infectados, etc) que tiene una comunidad de habitantes, mientras que los discretos, suponen que el tiempo toma valores discretos (meses, días, generación etc.).

En un modelo determinista es posible controlar todos los factores que intervienen en el estudio del fenómeno, y predecir sus resultados con exactitud; bajo este modelo, puede ser que sea resuelto analíticamente o por procesos computacionales de simulación.

En un modelo estocástico no es posible controlar todos los factores concurrentes, de manera que los resultados no son únicos; al menos una variable se toma como un dato al azar y las relaciones entre variables se generan por medio de funciones probabilísticas.

El modelo de Kermack y McKendrick, es determinista, se basa en la compartimentación de la población atendiendo a su estado de salud respecto al patógeno introducido. Los tres modelos clásicos más sencillos se denominan SI, SIS y SIR, pueden ser descritos mediante sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales.

El modelo epidemiológico compartimentado básico (modelo susceptible–infectado–recuperado o SIR, en el que S, I, y R representan los tres compartimentos) descrito por Kermack y McKendrick (1927)  puede ser formulado como el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

donde 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) y 𝑅(𝑡) corresponden al número de individuos en las clases de susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente, en el tiempo 𝑡, con 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 𝑁. N es el tamaño total de la población.

La razón de cambio de la población susceptible es proporcional a 𝑆𝐼, con una constante de proporcionalidad 𝛽 > 0 que se denomina velocidad de infección o velocidad de contacto, (tasa de transmisión) mientras que los individuos son removidos de la clase de infecciosos a una razón proporcional al tamaño de la clase I, con una constante de proporcionalidad 𝛾 > 0 que se denomina velocidad de remoción  o tasa de recuperación.

En este modelo SIR sencillo, el número reproductivo básico (o la razón reproductiva básica) es igual a .

 es una medida del potencial de la propagación de la enfermedad dentro de la población.   es un valor umbral, de tal modo, que en general si  la enfermedad desaparece despúes de cierto tiempo, si  la enfermedad se propaga, generando un brote epidémico.

La reproducción efectiva refleja el hecho de que, a medida que la proporción de individuos susceptibles disminuye (S/N), la trasmisión de la enfermedad se vuelve más lenta. Basándose en esta perspectiva matemática sencilla, los epidemiólogos suelen considerar que el número reproductivo básico es uno de los parámetros decisivos para determinar si una epidemia es susceptible de control. Por ejemplo, el objetivo de toda respuesta de salud pública durante una pandemia de gripe consiste en aminorar o detener la propagación del virus mediante estrategias de mitigación que: 1) disminuyan el R0 mediante el cambio de la tasa de transmisión (por ejemplo, cerrando las escuelas) o de la duración de la infecciosidad (por ejemplo, mediante el uso de antivíricos) o bien 2) disminuyan el Re reduciendo el número de individuos susceptibles (por ejemplo, mediante la vacunación).[4]

Para el sarampión, por ejemplo, el  se estima en alrededor de 15. Es decir, durante un brote de sarampión, una persona infectada infecta a un promedio de otras 15, si ninguna está vacunada. Para coronavirus, la estimación de  fue alrededor del 2,5(26 de febrero 2020, España). Parece un valor bajo en  comparación con el sarampión, pero no exactamente. La pandemia de gripe de 1918, también conocida como gripe española tuvo un  de 2,1 y el número de muertes que ocasionó se estima en 50.000.000 (enero de 1918 a diciembre de 1920)

En la primera fase de una pandemia, se infectan cada vez más personas y cada vez más rápido, es lo que hemos venido observando en Covid-19,  la velocidad depende del tamaño de  y de otra variable fundamental de esta matemática transparente y decisiva: el tiempo promedio que transcurre entre el momento en que una persona se infecta y el momento en que esa misma persona infecta a otra. Esa ventana de tiempo, en el caso de Covid-19, se estima en alrededor de siete días.

Pareciera que podemos resumir las cuarentenas, el cierre de escuelas, teatros, museos, práctica de deportes y las calles vacías, en una única intención matemática: reducir el valor de . Porque cuando el  cae, la expansión se ralentiza. Y cuando  se lleva cuidadosamente por debajo del valor crítico de 1, la difusión comienza a detenerse.

Los epidemiólogos saben que la única forma de detener de verdad una epidemia es que el número de Susceptibles sea lo suficientemente bajo como para hacer poco probable el contagioPor ejemplo cuando la población está vacunada, ocurre queuna persona cambia de Susceptible a Recuperado sin siquiera pasar por la enfermedad. Pero este no es el caso por el momento, para el Covid-19 no existe todavía vacuna.

Se usan los modelos para hacer simulaciones, se analizan y modifican parámetros y se puede predecir cómo podría ir  desarrollandose la pandemia. De esos análisis proceden las decisiones que van tomando los gobiernos.

Si tenemos en cuenta las disciplinas interesadas en la dinámica de las enfermedades infecciosas, ha venido aumentando el interés por el estudio del parámetro R0 ; un indicio es que entre el 2009 y febrero del 2013 se habrían publicado 710 artículos sobre este tema en diversas disciplinas; la mayor parte aparecieron en revistas científicas sobre infectología y elaboración de modelos matemáticos.

Por sí solo, se considera que el R0 es una medida insuficiente de la dinámica de las enfermedades infecciosas en las poblaciones; hay otros parámetros que pueden aportar información más útil. No obstante, la estimación del R0 en una población determinada es útil para entender la transmisión de una enfermedad en ella. Si se considera el R0 en el contexto de otros parámetros epidemiológicos importantes, su utilidad puede consistir en que permite conocer mejor un brote epidémico y preparar la respuesta de salud pública correspondiente. [4]

 

Conclusión

Los modelos tienen utilidad para ayudar a predecir el curso de una epidemia dentro de una comunidad, detectar los umbrales de población más allá de los cuales existe el riesgo de una epidemia y relacionar los niveles de endemicidad con los factores susceptibles de ser controlados por la intervención de las autoridades sanitarias, así como elegir programas óptimos de vacunación y otras estrategias para la erradicación de ciertas enfermedades.

LA MATEMÁTICA colabora, es un trabajo interdisciplinar.

En estos días vemos curvas y proyecciones que se difunden por los medios de comunicación, en la mayoría de los casos de trata de modelos empíricos, es decir se trabaja con los datos, pero para predecir comportamientos es necesario el empleo de modelos complejos. La simulación es de utilidad, la variación de parámetros ayuda a la predición.

Por cierto que los modelos estocásticos basados en funciones probabilisticas y datos estadísticos es otro tipo de modelización que también se aplica con mucha frecuencia.

En resumen la MATEMÁTICA y la EPIDEMIOLOGÍA están estrechamente relacionadas.

 

 

Bibliografía Consultada

[1] García Rovira, L. (2017).Modelos matemáticos compartimentales en epidemiología. Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de la Laguna España.

https://riull.ull.es/xmlui/bitstream/handle/915/6779/Modelos%20matematicos%20compartimentales%20en%20epidemiologia.pdf?sequence=1&isAllowed=y (visitada el 14-5-2020)

[2] González Arroyo, María (2017). Modelización y simulación en epidemiología. Universidad Complutense de Madrid.

http://www.mat.ucm.es/~ivorra/papers/tfg-maria.pdf  (visitada el 15-5-2020)

[3] Montesinos-López, O.; Hernández-Suárez. C. (2007). Modelos matemáticos para enfermedades infecciosas. Salud pública Méx vol.49 no.3 Cuernavaca may./jul. 2007. (visitada el 15-5-2020)

[4] Ridenhour, Benjamin ; Jessica M. Kowalik y David K. Shay “El número reproductivo básico (R0): consideraciones para su aplicación en la salud póblica”, American Journal of Public Health 108, no. S6 (December 1, 2018): pp. S455-S465.

https://doi.org/10.2105/AJPH.2013.301704s (visitada el 14-5-2020)

[5] Velasco Hernandez, Jorge X. (1999). Sobre enfermedades infecciosas. Pub. SMM Miscelanea Matemática Nº 29 pp 51-72.

[6] Velasco Hernandez, Jorge X. (2012). Epidemiologia Matematica: ejemplos, datos y modelos asociados. Universidad Nacional Autónoma de México

https://www.researchgate.net/publication/234053852_Epidemiologia_Matematica_ejemplos_datos_y_modelos_asociados?enrichId=rgreq- (visitada el 15-5-2020)

[7] Diario el Mundo: “Coronavirus: matemática del contagio para mantener la calma en medio del caos” (26-02-2020)

https://www.elmundo.es/ciencia-y-salud  (visitada el 14-5-2020)

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